Black Scholes.
La formula fue desarrollada en los 70 y es la piedra angular para la valoración de opciones europeas o call americanas si no pagan dividendos.
La fórmula es la siguiente:
siendo:
Puede parecer compleja matemáticamente pero es muy sencilla su aplicación en programas y hojas de calculo informáticas.
Para usar Black Scholes necesitamos 5 variables:
- El precio de la acción hoy
- El Strike o precio de vencimiento
- La fecha de vencimiento
- Volatilidad de la acción
- Tasa libre de riesgo
Las tres primeras vienen dadas por la situación , para la tasa libre de riesgo podemos tomar Las Letras del Tesoro y para la volatilidad la desviación típica diaria del activo subyacente. Para anualizarla sen multiplica por la raíz de 252.
Para realizar la valoración por montecarlo dejaré el código Matlab. Básicamente hay que simular el precio de la acción. Yo suelo utilizar esta fórmula:
ST= S0*exp((r-0.5*sigma^2)*T_t)+sigma* sqrt(T_t)* distr.normal.inversa)
Es muy fácil de aplicar y podemos comparar sus resultados con los obtenidos con Black Scholes.
A modo de ejemplo:
Supongamos que tenemos una opción europea sobre una acción cuyo strike es 110 y el precio de la acción a día de hoy es 100. Su volatilidad es 30% anual siendo la fecha de vencimiento dentro de un año y la tasa libre de riesgo el 1%.
¿Cuál será el valor de esta opción tanto call como put?
Aplicando Black Scholes y Montecarlo tenemos los siguientes resultados:
| Datos | |
|---|---|
| sigma | 30% |
| r | 1% |
| X | 110 |
| S0 | 100 |
| T | 1 |
| Valor opción | Black Scholes | Montecarlo |
|---|---|---|
| call | 8,50 € | 8,51 € |
| put | 17,40 € | 17,41 € |
Como podemos ver el valor calculado por los dos métodos es prácticamente el mismo. Con la potencia computacional de hoy en día las simulaciones de Montecarlos son muy útiles y una opción viable para el calculo del valor de opciones.
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